НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Значение"

Градиентным отображением называется отображение, сопоставляющее точке значение градиента функции в ней.

Критические значения нормального отображения образуют каустику (геометрическое место центров кривизны) исходного подмногообразия: см.

Дело в том, что множество решений любой вариационной задачи (или вообще множество решений уравнений Гамильтона с фиксированным значением функции Гамильтона) образует симплектическое многообразие, очень полезное для исследования свойств решений.

В этих примерах единственное критическое значение с = 0.

Критические значения лежат в этой плоскости изолированно и не делят ее на части.

Поэтому многообразия уровня с при всех некритических значениях с устроены топологически одинаково.

Если с, изменяясь, проходит через критическое значение, то никакой перестройки не происходит: многообразие уровня, правда, становится особым в момент прохождения <с через критическое значение, но затем мгновенно возвращается в первоначальное состояние.

В комплексном случае вместо того, чтобы проходить через критическое значение, нужно обходить вокруг него (проявление общего принципа, согласно которому комплексным аналогом вещественного понятия «край» является «разветвленное накрытие»).

Итак, рассмотрим на плоскости комплексного переменного с путь, обходящий критическое значение.

— вовсе не тождественное преобразование: когда с делает полный оборот вокруг критического значения, возвращается на место лишь многообразие уровня с, а вовсе не его отдельные точки *.

В вещественном случае это уравнение определяет окружность, нас же интересует «комплексная окружность» — множество точек (я, у) плоскости двух комплексных переменных, сумма квадратов (комплексных) координат которых имеет фиксированное значение.

" Из этой формулы видно, что каждому (комплексному) значению х соответствует пара значений у, за исключением х=±^с, — каждому из этих двух особенных значений х соответствует единственное (нулевое) значение у.

Соответствующее значение у, непрерывно меняясь, вернется не к прежнему значению, а к другому.

При двукратном обходе х вокруг точки УС величина у возвращается к исходному значению.

Если точка, х гуляет по плоскости, не пересекая этого отрезка, то у возвращается к первоначальному значению всякий раз, когда х описывает замкнутый путь.

При приближении с к критическому значению О обе точки ветвления сближаются.

Итак мы разобрались в строении множества неособого уровня вблизи критической точки при фиксированном значении функции, близком к критическому.

Пусть теперь значение с обходит по малому контуру вокруг критического значения.

отождествление линий уровня с, непрерывно зависящее от пути, пробегаемого Значением с при обходе критиче

Рис, 68 ского значения, может быть выбрана так, что вне указанной окрестности все точки линии уровня вернутся на место, когда 'С совершит полный оборот.

В результате общего малого шевеления возникает несколько критических значений и около каждого из них — по исчезающему циклу.

Обход каждого из критических значений определяет преобразование монодромии.

Подход от некритического исходного значения к каждому критическому значению по некритическому пути переносит исчезающий цикл в многообразие исходного неособого уровня пошевеленной функции.

Малое шевеление х3 — ех-\-у2 имеет два критических значения (рис.

Таким образом, в теории критических точек функций появляются группы отражений: они составляются преобразованиями монодромии при обходе вокруг критических значений.

Эта функция может иметь в зависимости от значений управляющих параметров один или несколько минимумов (рис.

Скачок происходит при тех значениях управляющих параметров, для которых локальный минимум исчезает, слившись с локальным максимумом (рис.

С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (скажем, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.

Таким образом, хотя при каждом индивидуальном значении параметра систему малым шевелением можно превратить, в невырожденную, этого нельзя сделать одновременно при всех значениях параметpa: всякая кривая, близкая к рассматриваемой, пересекает границу раздела при близком значении параметра (вырождение, устраненное малым шевелением при данном значении параметра, вновь возникает при некотором близком значении).

При этом исследование вырожденных систем не должно ограничиваться изучением картины в момент вырождения, но должно включать описание перестроек, происходящих, когда параметр, меняясь, проходит через вырожденное значение.

13 изображено однопараметрическое семейство эволюционных процессов с одномерным фазовым пространством (по оси абсцисс отложено значение параметра е, по оси ординат — состояние процесса х).

Для однопараметрического семейства общего положения равновесия при всевозможных значениях параметра образуют гладкую кривую (Г на рис.

Таким образом, при изменении параметра выделяются особые или бифуркационные значения параметра (критические значения проекции а, Ь, с, d на рис.

Вне этих значений положения равновесия

При подходе параметра к бифуркационному значению положение равновесия «умирает», слившись с другим (или же «из воздуха» рождается пара положений равновесия).

В момент рождения (или смерти) оба положения равновесия движутся с бесконечной скоростью: когда значение параметра отличается от бифуркационного на е, оба близких положения равновесия удалены друг от друга на расстояние порядка fe.

При изменении параметра из положения равновесия рождается предельный цикл (радиуса порядка Уе, когда значение -параметра отличается от бифуркационного на е).

17); амплитуда колебаний пропорциональная квадратному корню из закри-тичности (отличия параметра от критического значения, при котором равновесие теряет устойчивость).

Будем изображать систему, соответствующую какому-либо значению параметров, точкой на оси значений параметра (на плоскости, если параметров два, в пространстве параметров, если их три, и т.

Мы получаем таким образом на плоскости (в пространстве) параметров область устойчивости (составленную значениями параметров, при которых равновесие устойчиво), область неустойчивости и разделяющую их границу устойчивости.

Для простейших особенностей значения а таковы: каустика ребро возврата ласточкин хвост пирамида кошелек

Эти кривые образованы критическими значениями отображения gt, „т.

его значениями в критических точках (для отображения рис.

1 критические точки — это точки экватора сферы, критические значения — точки видимого контура на горизонтальной плоскости).

Линия критических значений отображения gt называется его каустикой.

Представим себе, например, что мы должны выбрать х так, чтобы обеспечить наибольшее значение функции f(x) (рис.

При каждом фиксированном значении параметра у вычислим максимум функции, обозначим его через




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru