НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Ноли"

Если / линейна и отлична от нуля, ее горизонтали параллельны, „прямы" и имеют размерность п—1.

Аналитичность была переоценена, и обращению в нуль остаточного члена в пределе при k, стремящемся к оо, уделяли чересчур много внимания; по остроумному выражению Зимана, было дозволено, чтобы хвост (ряда Тейлора) вилял собакой1.

Будем говорить, что функция g : R->R имеет в начале порядок k, если (Условимся отдельно, что константы имеют порядок нуль.

Например, если U больших нуля, и f(x)=x\ то.

Как в физических, так и в математических приложениях важной характеристикой гладкой вещественной функции является наличие у нее „критических точек", в которых производная обращается в нуль.

1 в некоторой окрестности нуля.

Так как нуль — критическая точка, мы имеем

Тогда в некоторой окрестности нуля существует гладкая функция I, такая что и /(0)=0.

3 имеем в некоторой окрестности нуля q(x) = x*l(x), где / — гладкая функция.

" -*-R называются эквивалентными вблизи нуля, если существуют такой локальный диффеоморфизм у: R" -> R в окрестности нуля и такая постоянная у.

что вблизи нуля

, ur, имеет морсовскую критическую точку в начале (пространства Rr), хотя и не обязательно принимает там значение нуль.

19 обращались в нуль.

Эти определители непрерывно зависят от положения многообразий, и если они отличны от нуля при каком-то их положении, то они отличны от нуля и для всех соседних положений.

Градиентные отображения на R", п^2,— это в точности те, для которых некоторый дифференциал (ротор из „векторного анализа", для п=3) обращается всюду в нуль.

Теперь мы назовем семейства / и g эквивалентными, если найдутся такие е, у, у, определенные в некоторой окрестности нуля, что g(x, s) =/((/,,(*), для всех (х, s)?

5, можно убедиться, что обращение в нуль производной по t не играет здесь никакой роли.

136 ГЛАВА 7 КЛАССИФИКАЦИОННАЯ ТЕОРЕМА ТОМА (b) места, где Dft трансверсально пересекает нуль, т.

ps обращается в нуль.

Далее, типичным образом, когда ps обращается в нуль, то qs в нуль не обращается, так как иначе кривая С пересекала бы ось г, а две кривые в трехмерном пространстве в типичном случае не пересекаются.

Поскольку того факта, что р или q отлично от нуля, достаточно, чтобы определить искомую локальную форму, те же самые соображения трансверсальности применимы независимо от того, сколько членов по х мы допускаем.

>3 множество 6-струй от х, которые не приводятся к виду ±л;2 или х3 в достаточно малой окрестности нуля, имеет коразмерность 2 в множестве всех й-струй без линейных членов независимо от k.

Отметим также, что множество неморсовских квадратичных частей имеет размерность нуль в пространстве {рх2\ p?

В отдельных местах, следовательно, третья производная ft по «1 обращается в нуль вместе со второй и, значит, можно написать где k — некоторая постоянная.

, tn)) функции, разложение которых начинается с невырожденных квадратичных членов — и которые, следовательно, приводятся к квадратичным формам,— образуют множество коразмерности нуль.

Однако трехкратной вырожденности не должно быть, пока число параметров не достигнет 6, поскольку такая вырожденность требует, чтобы мы трансверсально прошли через нуль в 6-мерном пространстве квадратичных форм ax*+bxy+cy*+dyz-{ ez^+fzx от трех переменных.

По прямой аналогии с этим случаем, если мы расширим /' до четырехмерного пространства, добавив четвертую координату, отвечающую коэффициенту при члене пятой степени sx5, то в типичном случае она не будет равна нулю, когда остальные три координаты р, q и л обращаются в нуль.

Алгебраически этот факт выражается в том, что матрица Гессе некоторой (отдельной) функции f^ -t Г) (х, у) вся целиком обращается в нуль в некоторой точке (х, у), т.

Покуда не все из коэффициентов а, Ь, с обращаются в нуль, квадратичная часть разложения вырождается не более чем в одном направлении, так что, как и раньше, ft в типичном случае будет локально записываться в одной из следующих форм: при подходящем выборе координат; соответственно при прохождении через эти точки мы получим регулярные точки, складки, сборки, ласточкины хвосты и бабочки, как в § 5.

По соображениям трансверсальности, для семипараме-трического семейства является устойчивым свойство содержать элемент, для которого первые, вторые и третьи производные по х и у все обращаются в нуль; но условие, чтобы при этом всегда встречалась квартика одного и того же, фиксированного типа, уже не является устойчивым, поскольку квартики заданного типа образуют множество коразмерности не менее восьми.

4) справедливо, то каждая гладкая функция R"->R порядка &+1 (многочлены из УИ*+1 являются лишь простейшими примерами таких функций) может быть представлена в некоторой окрестности нуля в виде a ^L+ 4 а У-4l dXj~T~ "• '^ ч" дхп '

) Множество особенностей, для которых первые три производные обращаются в нуль в двух направлениях, имеет коразмерность 7, множество особенностей, для которых первые две производные обращаются в нуль в трех направлениях, имеет коразмерность 6, но коразмерности отдельных элементов в этих множествах не меньше 8 и 7 соответственно.

+ xffi обращается в нуль лишь в начале и потому принадлежит A.

, df/dxn, следовательно, эти производные не могут обратиться в нуль одновременно нигде, кроме начала), неизолированные особенности разделяют с неопределенными их крайнюю атипичность.

PY ' Р } в том и только том случае, если одновременно и Р, и У отличны от нуля.

3) вблизи точки (1/У—1, 0, 0), где F обращается в нуль: [1/У о 1 [01 ГО] _ Г<>1 [ о i/yj [yj [и ~ Ы ' существует единственная гладкая функция определенная вблизи нуля, график которой (кривая С на рисунке 8.

F(a(t), e(0) = 0 для всех / вблизи нуля, т.

+ vl) = 0 , которое обр ащается в нуль, когда обращаются в нуль vl и vt -3 + 1^9+ 12(4,+ fa)

В этой плоскости 3-струя имеет вид X3, если только вдобавок и q не обращается в нуль.

Этим тип критической точки будет определен, если только на этой прямой X3 — 3XY2 не обращается в нуль тождественно, поскольку ненулевая однородная кубика от одной переменной х автоматически эквивалентна х3.

Этот вопрос в действительности породил пример (d) из § 13 предыдущей главы, где мы нашли струю в такой точке (со сдвигом начала в плоскости ху), для которой детально показали, что она эквивалентна сборке, при условии что ее квартичная часть обращается в нуль в исходных координатах.

Квадратичная часть обращается в нуль на прямой вырожденности кубической части при — <7/2р = — 1, т.

(Более точно, как в двух-, так и в трехмерном случае кривая, соответственно поверхность центров величины параметризуется положением корабля С'-гладко (но, вообще говоря, не более чем кусочно-С2-гладко) для всех значений водоизмещения, исключая множество меры нуль.

Мы видим вблизи нуля знакомое изменение формы потенциала, отвечающее движению управляющей точки вдоль центральной оси (а) стандартной сборки и (Ь) двойственной сборки.

Критические точки функции ср, в которых обращается в нуль ее градиент, с различными имеющимися тут возможностями (максимум, минимум, седло, обезьянье седло и т.

Замечательное свойство безвихревых течений, которые при отсутствии вязкости можно считать таковыми все время, заключается в двумерном случае в обращении в нуль § 5 МЕТОДЫ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 287 лапласиана функции тока.

25 вертикально вверх; когда мы идем от вершины к впадине, направление рассеяния сначала отклоняется of вертикали, а потом возвращается к ней: „поворачивает назад" оно в том месте, где обращается в нуль вторая производная, хотя первая производная там и ненулевая.

Сплошные линии — это линии, на которых обращается в нуль определитель матрицы Гессе; в типичном случае мы имеем по замкнутой кривой вокруг каждого максимума и каждого минимума.

Если задачу можно поставить в „хорошем" пространстве и нуль изолирован в спектре //, то с этим можно сладить различными способами (Н должен иметь замкнутый образ), но все же пространство существенных переменных становится бесконечномерным, и коразмерность, разумеется, бесконечна.

„Обобщенных" означает тут, что в классическом смысле производные вовсе не обязаны существовать,— это измеримые функции, определенные лишь с точностью до значений на (произвольном) множестве меры нуль.

Ясно, что если а и G равны нулю, то при условии равновесия и / должно обратиться в нуль (что и было причиной § 8 ВЫПУЧИВАНИЕ ПРУЖИНЫ 385 выбора / в качестве координаты).

Вероятность скачка не нуль, но и не велика.

§ 1 УРАВНЕНИЕ ВАН ДЕР ВААЛЬСА 417 водная функции обращается в нуль", как это принято в математике.

Если же все диагональные члены нулевые, то тогда отличен от нуля какой-нибудь вне-диагональный член KU (iV=/) и по симметрии Kj^O.

Ни р, ни q нигде не имеют критических точек, так как dp/dz=l тождественно, a dq/dz= 1 +л:2, и ни одна из этих производных нигде не обращается в нуль.

Если функция p\q-i(C) вырожденка в (ха, 20), то производная Dp\XaZa должна обращаться в нуль на всех векторах, касательных к q~l(c) в (ха, 20).

Но это в точности те самые векторы, на которых обращается в нуль Dq\Xa Zo, поскольку Dq\Xa Zo=^=0.

К несчастью, даже в наиболее математических книгах по термодинамике, таких как Кэллен [127], путают условие того, чтобы можно было провести указанную выше трансформацию задач экстремизации (в нашем примере условие, чтобы производные Dp и Dq нигде не обращались в нуль в отличие от своих сужений на специальные кривые; аналог этого условия в термодинамике выполняется почти универсально) с различными гораздо более сильными условиями.

Нас интересует, таким образом, что происходит в точках, где А меняет знак и, значит, обращается в нуль.

Если в такой точке В не нуль, то Ф имеет точку перегиба — снова неустойчивое равновесие (хотя и в меньшей степени, чем для максимума), и вещество „скатится" в направлении падения потенциала Ф к некоторому совсем другому значению -п.

432 ГЛАВА 14 ТЕРМОДИНАМИКА И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ „Если же В не обращается тождественно в нуль [по соображениям симметрии], то точки перехода определяются из двух уравнений А (Р, Т)=0, В(Р, Т)=0.

) При первой бифуркации tt трансверсально проходит через нуль, когда е проходит некоторое критическое значение ес с /4(ес)>0; поэтому, согласно „симметризованному" варианту гл.

9 (с)), в точках которой обращаются в нуль лишь первые, но не вторые и не третьи производные.

Если желать, чтобы К обратилось в нуль, т.

Для описания этих пяти типов удобно ввести в рассмотрение корневое множество формы А — множество тех точек, в которых форма А = (а, р, у, 6) обращается в нуль.

) Далее, никакой гладкой заменой нельзя перевести случай (iv), в котором градиент функции обращается в нуль на целой прямой, в случай (п), где он обращается в нуль только в начале.

Значит, если и, v или и—v обращается в нуль, то и / тоже.

9 (Ь) показано, что происходит, когда фиксирована температура, а а убывает от исходного положительного значения, проходя через нуль и доходя до достаточно больших отрицательных значений.

4 возрастает или убывает, проходя через нуль, F соответственно имеет максимум или минимум, приводит к рис.

с точками, где обращается в нуль производная.

Нужное условие теперь заключается в том, чтобы обращалась в нуль первая производная по направлениям вдоль границы (рис.

'••• 4", где ij — положительные целые (или нуль), Klt.

Если отличен от нуля только один какой-нибудь коэффициент, то р(х) называется одночленом.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru