НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Некотора"

Говорят, что данное свойство выполнено локально в точке х (или вблизи х), если оно выполнено для всех точек у из некоторой окрестности х.

По традиции представление этим рядом считается полезным только в случае, когда он сходится в некоторой окрестности II точки х„ и сумма его там равна

Ряд можно тогда почленно дифференцировать в некоторой (возможно, меньшей) окрестности V точки ха, и отсюда вытекает, что его коэффициенты аг задаются формулой

Для аналитической функции / этот ряд сходится к f(xa+x) в некоторой окрестности ха.

/->(/ — диффеоморфизм, то композиция /lo/ получается из h некоторой гладкой локальной заменой переменных („локальный" в данном случае означает „внутри LJ").

Он утверждает, что если „плоское" приближение (касательная прямая, плоскость, гиперплоскость) к множеству S решений уравнения f(x, t/)=0 служит графиком некоторой функции У=У(х), то локально и само множество S служит графиком некоторой функции.

Rm X R" множество служит графиком некоторой функции у=у(х), то и {(х, y)\f(x, y)=f(x, у)} является локально графиком некоторой гладкой функции

Теперь мы покажем, что вблизи невырожденной критической точки функцию f можно заменой переменных привести к некоторой простой стандартной форме.

Тогда в некоторой (возможно, меньшей) окрестности начала найдутся функции gt: R" -*• R, такие что п f = 2 X{gt, i = I причем все gt гладки и gi(ty=-g ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

В некоторой окрестности U точки и можно указать такую локальную систему координат z/t,.

1 в некоторой окрестности нуля.

Рассуждая по индукции, предположим, что в некоторой окрестности i/i начала существуют локальные координаты Ui,.

По теореме об обратной функции g — гладкая функция в некоторой окрестности начала?

Тогда в некоторой окрестности нуля существует гладкая функция I, такая что и /(0)=0.

Тогда с помощью некоторой гладкой локальной замены координат ее можно привести к виду xh при нечетном k, ± х* при четном k, причем в последнем случае знак совпадает со знаком?

3 имеем в некоторой окрестности нуля q(x) = x*l(x), где / — гладкая функция.

Теорема о неявной функции позволяет нам представить (локально) множество как график •••- и„) некоторой гладкой функции g: R"-r — Rr.

Поэтому, скажем, критическая точка коранга 3 функции от 2001 переменных потребует от нас изучения лишь некоторой функции от трех переменных.

Интуитивно, функция р мала, если малы все ее производные в точках из некоторой фиксированной окрестности начала.

, хп) прообраз D/-x(0) служит графиком некоторой функции (эквивалентно, / имеет ранг т), то вблизи (Хц.

, хп) мы можем представить множество как график некоторой гладкой функции R"~m ->- Rm.

Это приводит к следующему выражению для энергии:с некоторой постоянной с.

Отметим, что окрестность большинства точек поверхности локально является графиком некоторой функции от '•Vk ч'ало.

" -> R называются эквивалентными вблизи начала, если существуют локальный диффеоморфизм у: R" -*- R" и постоянный „сдвигающий член" у, такие, что в некоторой окрестности 0.

Теперь мы назовем семейства / и g эквивалентными, если найдутся такие е, у, у, определенные в некоторой окрестности нуля, что g(x, s) =/((/,,(*), для всех (х, s)?

Значит, по теореме о неявной функ§ 4 ЛЕММА МОРСА И ЛЕММА РАСЩЕПЛЕНИЯ ДЛЯ СЕМЕЙСТВ 129ции локально (в некоторой окрестности U начала в Rm X xRr) определена функцияg: RraxRr-*RA'-m, удовлетворяющая условиям

Алгебраически этот факт выражается в том, что матрица Гессе некоторой (отдельной) функции f^ -t Г) (х, у) вся целиком обращается в нуль в некоторой точке (х, у), т.

перестанет ее пересекать), но зато станет не трансверсальной к некоторой другой кривой S^,.

4) справедливо, то каждая гладкая функция R"->R порядка &+1 (многочлены из УИ*+1 являются лишь простейшими примерами таких функций) может быть представлена в некоторой окрестности нуля в виде a ^L+ 4 а У-4l dXj~T~ "• '^ ч" дхп '

Склеивая малые куски /'*+1/+УИ*+1, которые, согласно этой теореме, лежат каждый в некоторой своей орбите, можно показать, что всё jk+lf+M^+l целиком содержится (при некоторых дополнительных предположениях) в одной и той же орбите, и прийти тем самым к недавно опубликованной теореме Стефана (371:

Так как эта функция отлична от нуля в некоторой окрестности начала, то в этой окрестности функция - гладкая и мы можем взять ее тейлоровское разложение до порядка k-\-\ и получить многочлен, который запишем в виде

Если эта функция порождается специальной ситуацией или анализом некоторой „идеальной" системы, то она может быть, а может и не быть устойчивой, или типичной, но мы тем не менее должны быть в состоянии изучать ее.

Как мы уже отмечали в § 7, гораздо легче найти преобразование, приводящее катастрофу (возникшую в теории некоторой системы) к стандартной форме, если наперед знать, к какой форме стремиться.

18) помогает нам понять, как кривая сборок —• образ некоторой прямой при отображении класса С°° —перепрыгивает с одной поверхности на другую.

268 ГЛАВА 10 ОСТОЙЧИВОСТЬ СУДОВ щающимся вокруг некоторой точки на уровне поверхности воды, при условии что судно не черпает воду.

Таким образом, поверхность центров величины представляет собой график некоторой квадратичной формы, необходимо положительно-определенной (из-за выпуклости); поэтому поворотом координат эту форму можно диагонализо-вать и получить уравнение как и требовалось.

Линии тока движущейся жидкости образуют семейства кривых, которые при выполнении определенных физических предположений могут быть рассматриваемы как линии уровня некоторой вещественной функции.

Это означает, что даже и нестационарное двумерное несжимаемое течение можно трактовать как задаваемое в каждый момент времени некоторой функцией.

Естественные понятия „малого возмущения" для обоих случаев согласованны, и две функции тока эквивалентны относительно некоторой замены координат, если и только если эквивалентны соответствующие течения (притом относительно той же самой замены).

если у'2ф=0, то, объединяя х и у в единую комплексную переменную x-\-iy, мы можем представить ф как вещественную часть некоторой комплексно-аналитической функции ф+п|з.

Значит, для почти всех а (для всех, кроме 0) функция тока 2-опреде-ленна, и поэтому аху служит ее точным описанием в некоторой окрестности V начала с точностью до некоторой (не обязательно сохраняющей площадь) гладкой замены координат.

8), заключаем, что семейство fxy сильно эквивалентно в некоторой окрестности точки (0,0) универсальной деформации F функции — г/4/4.

Допустим, что продольная сжимаемость пренебрежимо мала по сравнению с деформациями изгиба стержня и что его концы свободно оперты; последнее означает, что они могут перемещаться лишь вдоль некоторой прямой, но не зажаты в определенном направлении.

Один из наиболее важных приемов — прием асимптотического разложения, аналогичный до некоторой степени методам предыдущей главы, — был введен в инженерную практику Сьюэллом в 1964 г.

) Есть подозрения, что оно обладает некоторой более сильной структурой, чем выяснено до сих пор, именно потому, что справедливы результаты типа теорем гл.

8 обещают точность лишь после гладких замен координат — правда, если угодно, с производной, равной в точке выпучивания тождественному отображению, — и лишь в некоторой окрестности, априори, возможно, малой.

Однако функция энергии разветвляется от некоторой точки перегиба на два близких типа с критическими точками и без них, что и располагает тополога к употреблению слова „бифуркация".

Поэтому, рассматривая эту деформацию как выведенную из универсальной, можно показать, что если ограничиться членами второго порядка по р—ро, то энергии в критических точках равны (с точностью до некоторой общей константы)

Очевидно, что вещество, вынуждаемое следовать по кривой, должно в некоторой точке произвести скачок.

Взятая с некоторой константой, эта величина In n^ называется энтропией S нашего воздуха.

) Поэтому принцип максимизации энтропии, лежащий в центре термодинамики, часто может быть с пользой представлен в виде принципа минимизации некоторой другой функции (даже, быть может, такой, которая, подобно энергии изолированной системы, физически не может изменяться) на множестве состояний с одной и той же энтропией.

06 устойчивости звучит по-разному в случае коранга ^ 2 в зависимости от того, должны ли в данной задаче наши уравнения быть эквивалентными критичности некоторой веще-ственнозначной функции или это не обязательно.

Чтобы в интересующей нас точке имел место минимум, мы должны потребовать выполнения условия С(Р, Т)>0 в этой точке (и, значит, по непрерывности, в некоторой ее окрестности).

Точнее, если мы продолжим кривую сосуществования через точку фазового перехода второго рода до некоторой гладкой кривой (а то, что это возможно сделать, является фактом, инвариантным относительно диффеоморфизмов) и параметризуем ее с помощью параметра а, то в архетипичной форме множество точек скачка выразится как§ 9 ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПОПЫТКИ ПОЧИНИТЬ ТЕОРИЮ 435(поскольку T|3+ari==0, a т)=0 можно отбросить при а<0).

Но точные статистические модели непросто строить (особенно для жидкостей; для кристаллов дело обстоит проще — достаточно хорошие приближения можно получать, рассматривая переменные, определенные лишь в узлах некоторой решетки) и еще слож

В тех случаях, когда Ф выводится из некоторой квантово-статистической микромодели, мы можем рассматривать такой интеграл как описывающий своего рода суперпозицию полуклассических состояний, в духе формулы (12.

Дело значительно упрощается, если предположить, что М(х) и прочие родственные величины могут быть получены интегрированием не по всему X, а лишь по некоторой окрестности точки х; другими словами, что взаимодействия между различными точками локальны (являются близкодействующими).

(Даже аналитические решения для точных моделей, чтобы они представляли физический интерес, должны обладать некоторой устойчивостью относительно малых изменений характера взаимодействия по сравнению с предположенным.

Мы предполагали повсюду в этой главе, что на область допустимых состояний не налагается никаких ограничений (типа г\^ некоторой константы).

Например, в тех точках, где дисперсионные соотношения, описывающие механические или электромагнитные колебания в кристалле, приводят к особенностям в соответствующем спектре, последний можно рассматривать локально как график некоторой функции, отображающей волновые векторы в значения энергии.

Геометрическая часть есть оператор и вполне определяется некоторой точкой на ассоциированном многообразии сборки.

1 Отвечающего некоторой наблюдаемой (величине).

) Этим демонстрируется вездесущность и унифицирующая мощь теории катастроф в самой сильной форме: это не столько слова „в некоторой размерности всё есть сборка", сколько возможность для нас найти общую каноническую форму для различных детально разработанных моделей, так что их соответствие становится ясным и предсказания и эксперименты одной отображаются в предсказания и эксперименты другой.

Тем самым любая равновесная система может быть отождествлена с некоторой неравновесной системой — через точку на многообразии сборки.

Зиман [157] первый указал, что граница такого рода, останавливаясь в своем движении, должна замедляться вовсе не экспоненциально, как, скажем, делает это маятник с сильным трением при возвращении в состояние равновесия; граница должна замедляться параболически х, останавливаясь в определенный момент в некоторой точке ас.

С помощью некоторой комбинации неизмеренных параметров, таких как R или S, можно, следовательно, равномерно распределить точные данные о складке на всю (Р, х)-плоскость!

До некоторой степени, стало быть, теорема о том, что все управляющие параметры, кроме одного, вблизи складки могут быть сделаны „немыми", хотя и верна, оказывает-ея ловушкой и обманом: для того чтобы устранить эти остальные параметры, нам надо получить о них целую кучу данных.

z t mULLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL § 5 БИСТАБИЛЬНОСТЬ ВОСПРИЯТИЯ 527 нужно было бы рисовать с изгибом, чтобы охватить все колебания; модель сама по себе позволяет до некоторой степени сделать это.

Если, как предполагает Зиман, он позже выучивается держаться некоторой фиксированной оценки с значительной точностью, то почему не может он сделать это в отношении своей нормальной скорости?

Таким образом, тот факт, что система состоит из подсистем, стремящихся к максимизации некоторой простой функции, сам по себе еще не означает, что к ней применима математика, описанная в этой книге,— надо, чтобы такое оптимальное поведение действительно достигалось в течение большей части времени.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru