НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Направление"

Отсюда вытекает, что DI(\X есть наклон касательной к графику /, проведенной в направлении оси xt; эта касательная совпадает с прямой, по которой касательная гиперплоскость к графику / пересекает координатную плоскость, задаваемую уравнениями *7-=const (/V=0 (см.

2), так сказать, число независимых направлений, по которым она вырождается.

Пусть свободный конец В находится в точке (а, Р) относительно указанной на рисунке системы координат (оси взяты с направлениями, противоположными обычным, из соображений алгебраического удобства).

Дополнительные мотивировки в этом направлении будут приведены в гл.

Эта форма вырождается только „в «-направлении".

Поэтому опять в типичном случае квадратичный член разложения для /( будет вырождаться лишь в одном направлении.

Для семейств с более чем двумя параметрами уже неприменимы соображения § 2 и 3 о вырожденности квадратичного члена самое большее в одном направлении.

Типичное 3-параметрическое семейство может устойчивым образом содержать функции, которые вырождены сразу в двух направлениях.

Покуда не все из коэффициентов а, Ь, с обращаются в нуль, квадратичная часть разложения вырождается не более чем в одном направлении, так что, как и раньше, ft в типичном случае будет локально записываться в одной из следующих форм: при подходящем выборе координат; соответственно при прохождении через эти точки мы получим регулярные точки, складки, сборки, ласточкины хвосты и бабочки, как в § 5.

2) говорит нам, в каком направлении мы сдвигаем точку (р, q, r) в /J, начиная производить зависящую от времени замену i/t(x) = (l+ta)x + i\W + tyx* + О (4) (в начальный момент замена тождественная).

Следовательно, мы должны уметь находить эти пространства касательных направлений систематическим образом, делая как можно меньше вычислений.

Возможных направлений смещений становится больше.

2р 1 + За О 2у Зр 1 + 4а значит, при q=^=Q точку (0, q, r} можно перемещать в любом направлении в этой плоскости, выбирая подходящие а и р.

Аналогичным образом точку (р, q, r) можно перемещать вообще в любом направлении в пространстве (рис.

Отсутствие постоянных членов в ЛА+1 (/) означает, что изменение значения в критической точке не принадлежит к тем направлениям, в которых мы можем сдвигаться посредством одного только изменения дс-коорди-нат.

Касание в направлении х2 в точке х3 можно яснее всего представить, если вложить „касающееся семейство" r'+s*2 (рис.

Эта замена переводит направления, касательные к множеству точек складки, в координатные направления и выпрямляет всё это множество так, чтобы оно лежало в точности вдоль этих направлений.

+1) k^ \ = max (dim Jkn+1 — dim ДА+1 (/)); k> i иными словами, это — число „отсутствующих" полиномиальных направлений.

) Множество особенностей, для которых первые три производные обращаются в нуль в двух направлениях, имеет коразмерность 7, множество особенностей, для которых первые две производные обращаются в нуль в трех направлениях, имеет коразмерность 6, но коразмерности отдельных элементов в этих множествах не меньше 8 и 7 соответственно.

) Большинство опубликованных Зиманом приложений теории катастроф относится именно к этому направлению.

Поэтому таких направлений не больше т (меньше, если некоторые из получающихся направлений линейно зависимы), и нам нужно еще по крайней мере направлений, чтобы получить все линейные и квадратичные направления деформации.

Постаравшись немного больше, мы могли бы еще и изогнуть „существенную ось" как угодно, лишь бы она оставалась касательной к прежнему направлению в начале.

Квадратичный член вырождается в этих направлениях соответственно при

Кубическая часть вырождена лишь в направлении X/Y= — 1 и имеет лишь одну вещественную корневую прямую.

Теперь можно сложить такие диски стопкой в направлении оси s и нанести на них типы критических точек.

Для доказательства положим, как и раньше, /=tg 0, где 6 — крен судна в направлении оси у, и аналогично s=tg г|з, где г|з — крен в направлении оси х.

Необходимо еще предпринять много усилий (не в последнюю очередь по установлению связей между морскими инженерами и математиками), но именно в этом направлении следует ожидать от теории катастроф результатов, которые будут чем-то большим, чем интересная переформулировка известных фактов об остойчивости кораблей.

Мы приписываем этому количеству положительный или отрицательный знак в соответствии с тем, будет ли наблюдатель в точке Р, смотрящий в направлении движения вдоль С, находиться на правом или левом берегу канала.

Возьмем малую петлю С вокруг точки (х, у), проинтегрируем вдоль С в направлении против часовой стрелки касательную компоненту v и поделим интеграл на заключенную внутри С площадь для „усреднения".

Четыре симметрично расположенных валика вращаются, как показано, с равными скоростями в чередующихся направлениях.

Однако если элемент объема жидкости, в котором находится данная молекула, вытягивается в одном направлении и сжимается в другом (как бы входя в сужающуюся воронку, см.

В этом направлении линии не растягиваются, и итоговый результат расчесывания невелик.

(Свет, поляризованный в других направлениях, ведет себя как суперпозиция указанных двух случаев.

Штрихи на соседней линии тока показывают, каким образом частично растянутые молекулы непрерывно поворачиваются в направлении, в котором они будут растягиваться еще больше.

Поэтому нам следует допустить небольшую завихренность со и прямолинейные равномерные течения со скоростями vx и vy в направлении осей х и у.

Было бы интересно провести дальнейшую работу в этом направлении с добавлением еще одной независимой скорости для получения полной деформации.

9 ориентированной в направлении, которое мы уже нашли с помощью классических геометрических методов.

Наблюдатель на земле увидит лучи данного цвета лишь в определенных направлениях, отвечающих углу при вершине соответствующего конуса, и в результате он видит хорошо известную многоцветную круговую дугу радуги, показанную внизу на рис.

В действительности же лучи всех цветов выходят во всех направлениях внутри соответствующих конусов, и лишь крайне высокая интенсивность, которой обладают различные цвета в различных избранных направлениях, определяемых каустиками складки, не дает им вновь смешаться в белый цвет.

Тогда га-мильтонов формализм дает нам гладкую функцию действия

Это дает (если оставить в стороне особенности) ясное представление о том, в каком направлении движется „волна", т.

в каком направлении идет луч, проходящий через х.

Классически интенсивность, наблюдаемая в направлении Q, задается формулой где J (Q) — матрица Якоби векторной функции Q (от переменных хну),

Отсюда следует, что где Н — определитель матрицы Гессе функции /, а суммирование ведется по всем Rt, таким что вышедшие из них лучи отразились в направлении Q.

Некоторое продвижение в этом направлении уже имеется (Филд [78], Поэнару [79—81]; наиболее непосредственное отношение имеет сюда работа Вассермана [81а]), но остается сделать еще очень много.

Время для супертанкеров дорого, и поэтому, идя в западном направлении (нагруженные нефтью), они предпочитают входить в Агульясово течение.

В результате может получиться, что оно на полной скорости спускается вниз по длинному склону по направлению к чему-то вроде мчащейся на него кирпичной стены (рис.

Мы верим в то, что теория катастроф внесет в свое время вклад в изучение упруго-пластических задач, и во всяком случае мы хотим привлечь внимание дифференциальных топологов всех направлений к области, где, один раз освоившись с обозначениями, они найдут массу великолепных задач себе по сердцу.

Одно из осложнений просто состоит в том, что гессиан Н может вырождаться в бесконечно многих направлениях.

Другая возможность, интуитивно менее очевидная, заключается в том, что гессиан может стать особым не из-за того, что он вырождается в каком-нибудь направлении — как оператор он остается инъективным,— а из-за отсутствия сюръективности, хотя топологически образ его и будет плотным.

Допустим, что продольная сжимаемость пренебрежимо мала по сравнению с деформациями изгиба стержня и что его концы свободно оперты; последнее означает, что они могут перемещаться лишь вдоль некоторой прямой, но не зажаты в определенном направлении.

(Чувствительность к несовершенству не обязательно должна действовать по направлению к прощелкиванию.

41 пока§ 17 ЖЕСТКОСТЬ 415заны для случая стержня ответы первого порядка на нормально приложенную силу G в виде касательных в направлении G к поверхности катастрофы над различными точками оси F.

(Если все части некоторого куска вещества намагничены в одном направлении, то получается заметное суммарное поле.

430 ГЛАВА 14 ТЕРМОДИНАМИКА И ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ с помощью физических рассуждений более глубоких, чем подбор эвристического уравнения состояния, его поверхность критических точек может оказаться практически неописываемой в замкнутом виде, и такую информацию о направлении придется получать из разложения.

В особенности это касается высших особенностей, где может быть несколько важных направлений и где лишь описанные нами методы указывают систематический путь к их уверенному выявлению.

Ее часто называют степенью упорядоченности, поскольку, скажем в примере с намагничением, она измеряет степень параллельности направлений намагничения в различных точках.

Если в такой точке В не нуль, то Ф имеет точку перегиба — снова неустойчивое равновесие (хотя и в меньшей степени, чем для максимума), и вещество „скатится" в направлении падения потенциала Ф к некоторому совсем другому значению -п.

Вблизи морсовского минимума эти колебания можно с большой точностью считать простыми гармоническими с амплитудой, пропорциональной квадратному корню из энергии возмущения и обратно пропорциональной (как и период) собственному значению гессиана Ф, отвечающему рассматриваемому собственному направлению.

По мере того как гессиан приближается к вырождению в этом направлении, та же самая возмущающая сила ведет к более широким и медленным колебаниям, которые соответственно и дольше затухают.

Если оставить в стороне не зависящую от d морсовскую часть в «/-направлении, то это — в точности то же самое не-трансверсальное семейство, которое мы изучали в § 6 гл.

Это число независимых направлений, вдоль которых форма вырождается, что становится особенно ясно видно, если форму диагонализовать.

) Для вычислений важны следующие коммутационные соотношения, показывающие, как влияет на результаты изменение порядка этих „направлений" во времени: ] = — 2(7-, (15.

Эти моды описываются направлением распространения соответствующих фотонов.

Любой вид, который почему-либо экспериментирует с кооперацией, быстро расширится до колоний с размером популяции N=nR%B, поскольку сдвиг в этом направлении немедленно вознаграждается эффективностью и конкурентоспособностью и потому будет закреплен генетически.

Можно ожидать, что будет действовать принцип промедления, так что общественные виды не появляются до тех пор, пока В не достигнет величины, для которой Л/В<о4ь (Маловероятно, чтобы у пчел появились заметные генетические изменения, необходимые для образования большого сообщества прежде, чем малые сдвиги в направлении к нему будут подкреплены.

Нужное условие теперь заключается в том, чтобы обращалась в нуль первая производная по направлениям вдоль границы (рис.

(Необходимо, чтобы мы могли считать, что система обычно находится в состоянии, являющемся локально экстремальным по всем N направлениям.

Дальнейшая работа в этом направлении может привести к полезным критериям согласия для моделей с катастрофами.

Преобразование координат, использованное нами, состоит в повороте плоскости х^х3 на 45° и растяжении с коэффициентом У 2 в направлении оси л-2.

Заметьте, что из-за растяжения в направлении оси лг2 конус имеет эллиптическое, а не круговое поперечное сечение.

В противоположном направлении: в большинстве квантовомеханических вычислений, относящихся к твердым телам или жидкостям, принимаются допущения об одновременности, которые теми, кто их принимает, считаются неверными!




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru